ТОП-10 УРАВНЕНИЙ, ИЗМЕНИВШИХ МИР
История знает множество уравнений, но далеко не все из них изменили саму историю. Мы собрали 10 теорем, законов и формул, которые внесли фундаментальный вклад в развитие науки и жизни на Земле
приблизительно 400 г. до н. э.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы
равен сумме квадратов длин катетов
Теорема Пифагора
Те самые «Пифагоровы штаны»
Теорема о соотношении между сторонами прямоугольного треугольника была известна с глубокой древности. Ею пользовались еще в древнем Египте, Вавилоне и Китае. Первое геометрическое доказательство было сделано Пифагором около 400 г. до н.э., позднее Евклид в труде «Начала» вывел аксиоматическое доказательство.

Если коротко: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Визуально расходящиеся в разные стороны квадраты напоминают покрой штанов — отсюда и шутливое название теоремы «Пифагоровы штаны».

Теорема выполняется в многомерных пространствах, сферической геометрии и геометрии Лобачевского. Также теорема нашла применение в теории чисел. Используется она и для определения относительного расположения в GPS навигации.
1666 г.

Закон всемирного тяготения

Теория Исаака Ньютона, описывающая гравитационные взаимодействия
между материальными телами в рамках классической механики
Закон всемирного тяготения
История про упавшее яблоко впервые встречается в 1728 г. в книге Вольтера, который ссылается на племянницу ученого Катарину, которая узнала историю от своего мужа, а тому ее якобы поведал сам Ньютон
История про яблоко, упавшее с дерева, под которым сидел Ньютон, пожалуй, известнее, чем сама суть фундаментального открытия. И хотя Ньютон был далеко не первым, кто рассуждал о силе всеобщего тяготения, именно он впервые построил математическую модель, которая дала четкое объяснение движению небесных тел.

Ньютон показал, что:
— наблюдаемые движения планет свидетельствуют о наличии центральной силы притяжения;
— центральная сила притяжения приводит к движению по эллиптическим или гиперболическим орбитам.

То есть, каждое массивное тело порождает силовое поле, которое притягивает к нему другие тела. При этом учитываются масса и плотность данных тел. Для примера, можно рассмотреть Луну, которая удерживается на орбите той же силой притяжения Земли, под действием которой падают тела на ее поверхности.

Ньютон показал, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками определенной массы пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Это утверждение заложило основы небесной механики, а позднее — теории гравитации.

Кстати, доподлинно известно, что в саду Ньютона действительно росла яблоня, которая пережила самого Ньютона почти на 100 лет и погибла в 1820 году из-за сильной грозы. Позднее из ее древесины было изготовлено кресло, осевшее где-то в частной коллекции. Имеет оно отношение к открытию закона или нет, вероятно, уже никто и никогда не узнает.

В современном мире теория Ньютона используется для проектирования орбит спутников и космических аппаратов и вывода их на орбиту.
1752 г.

Эйлерова характеристика

Формула Леонарда Эйлера, дающая характеристику топологическому пространству
Эйлерова характеристика
Эйлерова характеристика имеет довольно широкий спектр применения:
от вычисления площадей фигур до изучения структуры и функций ДНК
Три выдающихся математика работали над формулой в разное время. Впервые ее вывел Рене Декарт в 18-м веке, позже Леонард Эйлер доработал ее. Еще позже (в конце 19-го века) Анри Пуанкаре вывел обобщенный ее вариант.

Если коротко, то вот ее суть: пусть имеется некая фигура (сфера, шар, тор, элипсоид или произвольный выпуклый многогранник) с определенным числом вершин, ребер и граней. Можно заметить, что соотношение:

Грани – Ребра + Вершины = Х

не меняется при деформировании самой фигуры — например, если на боку фигуры сделать вмятину или даже вырезать дыру. Эта величина Х и называется эйлеровой характеристикой. Для примера можно рассмотреть куб — у него 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Имеем: 8-12+6=2. Даже если смять наш куб в параллелепипед, эта величина не изменится. Все просто.

В современном мире используется инженерами и биологами. В частности, топология помогает понять поведение и функции ДНК.
1822

Уравнения Навье — Стокса

Система дифференциальных уравнений, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости
Уравнения Навье — Стокса
Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач
Одни из важнейших уравнений в гидродинамике, описывающие движение вязкой жидкости. Впервые были получены двумя французами: физиком Анри Навье и математиком Симеоном Пуассоном. Позже вывод уравнения был дан британским математиком Джорджем Стоксом. Представляют из себя два уравнения:
— уравнения движения,
— уравнения неразрывности.
Иногда их дополняют уравнением неразрывности.

Будучи дополненной специальными уравнениями и уточнениями, данная система может описывать конвекцию, термодиффузию в жидкостях, поведение многокомпонентных смесей различных жидкостей, описывать явления электро- и магнитогидродинамики, описывать движение мантии Земли и передвижение воздушных масс атмосферы (например, при предсказании погоды).

Стоит упомянуть, что нахождение общего аналитического решения системы Навье — Стокса для пространственного или плоского потока усложняется тем, что оно нелинейно и сильно зависит от начальных и граничных условий. В решении этой проблемы заключается суть одной из семи «проблем тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн долларов США.

Уравнения Навье — Стокса помогли создать более качественную
аэродинамику у транспортных средств, в частности, пассажирских самолетов.
1838 г.

Логистическое уравнение

Математическое уравнение в популяционной биологии, моделирующее численность населения
Логистическое уравнение
Уравнение отражает конкуренцию населения за полезные ресурсы, которая ограничивает рост популяции
Выведено бельгийским математиком Пьером Ферхюльстом на основе теории британского священника Томаса Мальтуса, согласно которой население, если его рост ничем не сдерживается, увеличивается в геометрической прогрессии, тогда как производство продуктов питания — в арифметической, что неминуемо приведет к голоду и социальным потрясениям. Фактически уравнение является развитием этой идеи.

Уравнение основано на двух принципах:
— скорость размножения популяции пропорциональна ее текущей численности при прочих равных условиях,
— скорость размножения популяции пропорциональна количеству доступных ресурсов при прочих равных условиях.

Современные ученые считают, что подход Мальтуса был не совсем верен, в то время как уравнение Ферхюльста получило несколько подтверждений. А вот почему Ферхюльст назвал свое уравнение логистическим, остается неизвестным.

Уравнение помогло понять, как работают природные системы. И сегодня используется для моделирования землетрясений и прогноза погоды.
1850 г.

Второй закон термодинамики

Принцип, накладывающий органичения на направление процессов, которые могут происходить в термодинамических системах
Второй закон термодинамики
Яркая и простая иллюстрация второго начала термодинамики: холодильник в процессе своей работы отбирает тепло
у продуктов и передает его в окружающую среду
С незапамятных времен человечество пыталось сконструировать Вечный двигатель — машину, способную выполнять полезную работу, причем большую, чем количество сообщенной ему энергии.
Такие машины различают двух видов:
— устройства, способные бесконечно совершать работу без затрат топлива или других ресурсов;
— устройства, превращающие в работу все тепло, извлекаемое из окружающих тел.
Невозможность создания первых постулируется в первом начале термодинамики (в любой изолированной системе запас энергии остается постоянным), невозможность вторых — во втором (самопроизвольный переход теплоты от более холодных тел к более горячим невозможен).

Своим появлением постулат обязан Рудольфу Клазиусу и Уильяму Томпсону (лорду Кельвину), которые вывели эквивалентные друг другу утверждения. Одним из результатов стало предположение, что существование Вселенной как замкнутой системы стремится к максимуму, и в конце концов в ней закончатся все макроскопические процессы. Это состояние получило название «тепловой смерти Вселенной».

Открытие закона помогло улучшить паровой двигатель. А также доказать, что материя состоит из атомов. Физики до сих пор пользуются этим знанием.
1873 г.

Уравнения Максвелла

Система уравнений, описывающая электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами
Уравнения Максвелла
Одним из результатов уравнения стало открытие радиоволн
Система сформулирована Джеймсом Клерком Максвеллом на основе нескольких важных экспериментальных открытий. Так в 1820 году датский физик Ганс Эрстед, показывая студентам опыт по тепловому воздействию тока, случайно обнаружил, что пропускаемый через провод ток заставляет отклоняться магнитную стрелку компаса. Позже в том же 1820-м Жан Батист Био и Феликс Савар установили закон определения вектора индукции магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током. Еще позже Андре Мари Ампер обнаружил, что между двумя проводниками, по которым пропускается ток, возникает взаимодействие на расстоянии. Наконец, в 1831 году Майкл Фарадей открыл, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток.

Анализируя эти эксперименты, Максвелл получил систему уравнений для электрического и магнитного полей. Оказалось, что не только ток, но и изменяющееся со временем электрическое поле порождает магнитное. В свою очередь, изменяющееся магнитное поле снова порождает электрическое. В результате, в пустом пространстве может распространяться электромагнитная волна. Из уравнений Максвелла следовало, что ее скорость равна скорости света, поэтому Максвелл сделал вывод об электромагнитной природе света. Это сыграло ключевую роль в развитии теоретической физики и привело к созданию теории относительности.

Уравнения помогли в понимании электромагнитных волн, что способствовало созданию многих технологий, которые мы используем сегодня (радар, телевидение, современные средства связи).
1905—1916 гг.

Теория относительности

Физическая теория, описывающая универсальные пространственно-временные свойства физических процессов
Теория относительности
Простой эксперимент, показывающий как именно работает теория
Пожалуй, самая известная физическая теория в мире, разработанная Альбертом Эйнштейном в начале 20-го века. Эта теория описывает взаимосвязь пространственно-временных свойств физических объектов и построена на принципе относительности, утверждающем что все законы природы одинаковы во всех системах отсчета. Теория относительности показала, что ньютоновская механика верна лишь в земных и приближенных к ним условиях. То есть, космическое взаимодействие тел вызвано не силовым эффектом притяжения, а деформацией самого пространства-времени, где они находятся.

Представьте, что вы взяли большую мягкую перину, в которую посадили жирного кота. Перина, конечно же, прогнется под его весом. Если бросить коту его любимый резиновый мячик, он неизменно скатится в эту образовавшуюся воронку. Этот простой эксперимент наглядно показывает как именно работает теория: впадина в перине — деформация пространства-времени, движение более мелких предметов в центр впадины — проявление силы притяжения. А принцип относительности постулирует, что этот эффект распространяется и на все другие физические объекты, например на солнечный свет.

Теория относительности является фундаментальным постулатом современной физики, подтвержденным рядом исследований, однако имеющим ряд пока неразрешенных вопросов. Оно полностью изменило нашу точку зрения на материю и реальность. В практическом смысле — помогло создать ядерное оружие.
1925 г.

Уравнение Шредингера

Уравнение, описывающее изменение в пространстве и времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией
Уравнение Шредингера
Шредингер известен не только экспериментом с котом
В начале 20-го века ученые пришли к выводу, что между классической механикой и экспериментальными данными существуют значительные расхождения. В начале 1920-х французский физик Луи де Бройль (потомственный князь, между прочим) основываясь на теории относительности вывел постулат о том, что всякая движущаяся частица (не только свет, но и любая другая), обладает волновыми свойствами, что послужило созданием квантовой механики. Через несколько лет Эрвин Шредингер разработал математический формализм нового раздела физики, одним из постулатов которого стало знаменитое уравнение.

Дело в том, что между классической механикой и геометрической оптикой существуют определенные соответствия. Понятиям материальной точки, траектории, скорости, потенциальной энергии и энергии в классической механике соответствуют понятия волнового пакета, луча, групповой скорости, фазовой скорости и частоты в геометрической оптике.

Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется методом аналогии с классической оптикой, на основе обобщения экспериментальных данных. Оно применимо для частиц со скоростями значительно меньшими скорости света, в иных случаях используются его обобщения.

Уравнение играет в квантовой механике крайне важную роль, сопоставимую с уравнением Гамильтона или вторым законом Ньютона в классической механике. На практике осуществило существенный вклад в использование полупроводников и транзисторов, и, таким образом, в большинство современных компьютерных технологий.
1973 г.

Модель Блэка — Шоулза

Финансовая модель ценообразования опционов при биржевых торгах
Модель Блэка — Шоулза
Модель позволяет оценить стоимость опциона и призвана уберечь инвестора от многих рисков
Впервые была предложена экономистами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в 1973 году и позднее значительно доработанная экономистом Робертом Мертоном.

Вывод модели основывается на следующей концепции: покупая акции и одновременно продавая опционы (договора на продажу или покупку этих акций по закрепленной цене), инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборот. При этом модель определяет цену на такой опцион, подразумевая, что она неявным образом уже устанавливается самим рынком, где торгуется базовый актив. В упрощенном виде это можно показать формулой:

Цена опциона = Ожидаемая будущая цена – Цена исполнения

Ключевым фактором в определении цены опциона является колебание цены на сам базовый актив.

Модель широко используется на практике для оценки всех производных бумаг. Шоулз и Мертон получили Нобелевскую премию по экономике за данную работу, Фишер Блек не дожил до вручения награды всего два года.
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Арт-директор: Татьяна Давиденко
Материалы подготовил: Вадим Павленко
Источник: Ян Стюарт «В поисках неизвестного: 17 уравнений, которые изменили мир»
Читайте также на «Репортере»